Problemi Inversi

I Problemi Inversi costituiscono un aspetto portante dell'attuale ricerca per le Equazioni alle Derivate Parziali. Il concetto di problema inverso sorge quando, da un dato problema, detto diretto, il ruolo tra parte dei dati e parte delle incognite viene scambiato. Le incognite, invece che essere le soluzioni delle equazioni poste a modello del problema diretto, sono, a seconda dei casi in esame, coefficienti, termini non-omogenei, non linearita'  delle equazioni stesse, oppure parametri di altro tipo, che per esempio, caratterizzano la geometria del dominio su cui si applicano le equazioni.
La ricerca sui problemi inversi e' guidata dalle applicazioni. Infatti, tutte le volte che si usano mezzi di misurazione indiretti, raccolte di dati o immagini, dal punto di vista della modellistica matematica si ritrova un problema inverso. Tali circostanze si incontrano continuamente, nei campi piu' diversi, quali la ricostruzione di immagini, tanto in microscopia che in astronomia, nel trattamento di dati sismologici e in sterminate applicazioni industriali quali lanalisi non-distruttiva di materiali mediante misure meccaniche, termiche, elettriche o elettromagnetiche. Il futuro del progresso scientifico e tecnologico e' per piu' vie legato allo sviluppo dei problemi inversi.
D'altro canto, lo studio dei Problemi Inversi, al di la'  delle motivazioni applicative, ha solide basi di interesse teorico per la matematica, dato che le questioni che si incontrano hanno notevoli caratteristiche di originalita'  e difficolta'  tecnica, a confronto con i classici problemi diretti della fisica matematica. Infatti, di solito, i Problemi Inversi non soddisfano i postulati di buona posizione di Hadamard, inoltre, in molti casi, sono estremamente non lineari.
Un esempio paradigmatico, dellinterazione efficace tra motivazione applicativa e teoria, si e' presentato col problema al contorno inverso della conduttivita'  (o Tomografia da Impedenza Elettrica). Lo studio matematico di questo problema ha preso slancio negli anni 80, cominciando con linfluente articolo di Calderòn e con i risultati di unicita'  di Kohn e Vogelius, Sylvester e Uhlmann, Nachman e con la stabilita'  dimostrata da Alessandrini. Questi successi hanno innescato uno sviluppo incredibile nelle applicazioni e nella ricerca matematica.
In questo sviluppo, il gruppo ha svolto un ruolo riconoscibile nel panorama internazionale ed ha assunto una posizione pilota in Italia per la ricerca in questo settore (dal 2002 al 2008 coordinamento nazionale PRIN).
Una principale linea d'indagine, anche se non l'unica, che caratterizza gli interessi del gruppo e' quella sulle questioni di stabilita'  associate ai problemi al contorno inversi e simili.
Nello specifico: Tomografia da impedenza elettrica. Problemi ibridi. Problemi inversi di scattering. Problemi inversi in elastostatica.

Responsabile del gruppo di ricerca
Responsabile: 
Giovanni Alessandrini

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Ultimo aggiornamento: 06-12-2019 - 19:30